Espaço métrico, em matemática, especialmente topologia, um conjunto abstrato com uma função de distância, chamada métrica, que especifica uma distância não negativa entre quaisquer dois de seus pontos de tal forma que as seguintes propriedades se mantenham: (1) a distância do primeiro ponto ao segundo é igual a zero se e somente se os pontos forem os mesmos, (2) a distância do primeiro ponto ao segundo é igual à distância do segundo ao primeiro, e (3) a soma da distância do primeiro ponto ao segundo e a distância do segundo ponto ao terceiro excede ou é igual à distância do primeiro ao terceiro. A última destas propriedades é chamada de desigualdade triangular. O matemático francês Maurice Fréchet iniciou o estudo dos espaços métricos em 1905.

A função de distância usual na linha do número real é uma métrica, assim como a função de distância usual no espaço n-dimensional euclidiano. Há também exemplos mais exóticos de interesse para os matemáticos. Dado qualquer conjunto de pontos, a métrica discreta especifica que a distância de um ponto a si mesmo é igual a 0 enquanto a distância entre quaisquer dois pontos distintos é igual a 1. A chamada métrica de táxi no plano euclidiano declara a distância de um ponto (x, y) a um ponto (z, w) como |x – z| + |y – w|. Esta “distância do táxi” dá o comprimento mínimo de um caminho de (x, y) a (z, w) construído a partir de segmentos de linhas horizontais e verticais. Em análise existem várias métricas úteis sobre conjuntos de funções contínuas ou integráveis de valor real delimitado.

Assim, uma métrica generaliza a noção de distância habitual para configurações mais gerais. Além disso, uma métrica sobre um conjunto X determina uma coleção de conjuntos abertos, ou topologia, sobre X quando um subconjunto U de X é declarado aberto se e somente se para cada ponto p de X houver uma distância positiva (possivelmente muito pequena) r tal que o conjunto de todos os pontos de X de distância menor que r de p esteja completamente contido em U. Desta forma os espaços métricos fornecem exemplos importantes de espaços topológicos.

Um espaço métrico é considerado completo se cada sequência de pontos em que os termos são eventualmente emparelhados arbitrariamente próximos uns dos outros (uma chamada sequência Cauchy) convergir para um ponto no espaço métrico. A métrica habitual nos números racionais não está completa, uma vez que algumas sequências Cauchy de números racionais não convergem para números racionais. Por exemplo, a sequência de números racionais 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, … converge para π, que não é um número racional. No entanto, a métrica habitual sobre os números reais é completa e, além disso, cada número real é o limite de uma sequência de números racionais de Cauchy. Neste sentido, os números reais formam a conclusão dos números racionais. A prova deste fato, dada em 1914 pelo matemático alemão Felix Hausdorff, pode ser generalizada para demonstrar que cada espaço métrico tem essa conclusão.