Como a nave espacial New Horizons está se aproximando de Plutão, ela está obtendo ótimas fotos. A animação abaixo mostra Plutão e Charon enquanto orbitam um ao outro.
Quando um planeta (ou planeta anão) tem um satélite, você pode usar o movimento desse objeto para encontrar a massa do planeta. Não é muito difícil. Na verdade, vamos usar a animação acima para estimar a massa de Plutão. Ok, há apenas uma coisa que precisamos que não está no vídeo. Precisamos de saber a distância de Charon a Plutão. Na verdade, se eu soubesse o campo de visão angular da câmera, poderia obter a distância orbital da separação angular entre os dois objetos. No entanto, para este exemplo vou apenas procurar este valor e usar uma distância Plutão-Charão de 1.957 x 107 m.
Também, um par de outras notas sobre este vídeo Plutão-Charão.
- A sequência de imagens mostra Plutão e Charão à medida que a nave espacial se aproxima dos dois objectos. Isto significa que a escala de distância muda em cada frame.
- Este vídeo é relativo ao centro de massa da órbita de Plutão-Charonte. Você pode ver que ambos Plutão e Charon estão orbitando um centro comum.
- Não estamos visualizando a órbita de um ângulo completamente perpendicular. Isto significa que Charon não parece mover-se num círculo (mesmo que essencialmente seja).
Física Básica
Existem realmente apenas dois princípios físicos que precisamos para este problema – a força gravitacional e a aceleração de um objecto em movimento num círculo. Vamos começar pela gravidade.
O modelo para a interação gravitacional diz que há um atrativo para puxar objetos com massa. A magnitude desta força é proporcional ao produto das massas dos dois objetos interagindo e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os objetos. Posso escrever a magnitude desta força como:
> O G é apenas uma constante, por isso não se preocupe com isso. Mas há mais uma coisa que é importante. A força gravitacional está sempre a puxar os dois objectos juntos e está na direcção do outro objecto.
A outra ideia importante é considerar a aceleração de um objecto em movimento num círculo – sim, ambos Plutão e Caronte estão em movimento num círculo em torno de um centro comum. Aqui está um diagrama (mas não à escala).
Ainda a uma velocidade constante, um objeto se movendo em círculo estará acelerando. A direção desta aceleração será apontada para o centro do círculo e terá uma magnitude que depende tanto da velocidade angular como do raio do círculo. Esta aceleração pode ser escrita como:
>Aqui ω é a velocidade angular do objecto em radianos por segundo. Mas eu acho que há mais uma coisa física para se olhar: a relação entre força e aceleração. Simplesmente, quanto maior a força da rede sobre um objeto maior a aceleração.
Agora a juntar tudo. A força é a força gravitacional e a aceleração é devida ao movimento circular. Há um senão. Se eu escrever isto para o movimento de Charon então a força gravitacional usará a distância de Charon a Plutão, mas a aceleração usará a distância de Charon ao centro do movimento de rotação. Apenas para ser claro, chamarei r a distância entre os objetos e o raio da órbita circular de Charon será rc. Além disso, como a força gravitacional (a única força) está na mesma direção da aceleração, posso escrever isto como uma equação escalar.
A massa de Charon cancela e assim eu posso resolver para a massa de Plutão.
>
Então tudo que eu preciso são as duas distâncias e a velocidade angular da órbita de Plutão.
Encontrar valores
Eu já disse que ia procurar a distância de Plutão a Plutão. Entretanto, eu preciso da distância de Charon até o centro do círculo orbital. Saltando pelos frames da animação, posso encontrar aquele que mostra Charon e Plutão o mais distante – neste ponto posso ver o tamanho total da órbita (sem perspectiva). Usando esta imagem e a distância de Plutão a Charon, obtenho um raio de órbita circular de 1.69 x 107 m.
Agora eu só preciso da velocidade angular da órbita. Se eu escolher um frame com Charon quase acima de Plutão e depois quando ele estiver quase abaixo dele, isso seria meia órbita. Olhando para os carimbos de tempo em cada frame, isto daria um tempo de cerca de 3,2 dias (276.480 segundos). Isso colocaria a velocidade angular como:
>Usando uma constante gravitacional de G = 6,67 x 10-11 N*m2/kg2 eu posso colocar em todos os meus valores para calcular a massa. Triturando os números, obtenho uma massa de Plutão de 1,24 x 1022 kg. BOOM. Isto é muito próximo do valor listado no 22Wikipedia com um valor de 1,3 x 1022. Considero isto suficientemente próximo para contar como um ganho.
E quanto à massa de Charon? Você pode usar esta mesma idéia e a distância orbital para a órbita de Plutão e obter uma estimativa da massa. É um trabalho de casa para você.
Modelo numérico
Apenas por diversão, aqui está um modelo numérico mostrando o movimento de Plutão e Charon.
O código acima está em trinket.io. Isto significa que ambos podem olhar para o código E alterar o código. Tente mudar as massas dos planetas e veja o que acontece. Note que se o momento inicial dos dois planetas não se soma ao vetor zero, o centro de massa não fica estacionário. É uma coisa divertida.